1.5_预备知识_习题.ZH

1习题

习题 1.1. (i) 设 $X$ 是一个集合，并设 $\Delta_{X}$ 是 $X \times X$ 中的对角线：

证明，如果 $X$ 至少有两个元素，则不存在 $X$ 的子集 $A, B$ 使得 $\Delta_{X}=A \times B$。

(ii) 设 $X$ 和 $Y$ 是两个集合。定义一个函数 $F: \mathcal{P}(X) \times \mathcal{P}(Y) \rightarrow \mathcal{P}(X \times Y)$，其中 $F(A, B)=A \times B$。$F$ 是否是单射？换句话说，如果 $A_{1} \times B_{1}=A_{2} \times B_{2}$，是否必然有 $A_{1}=A_{2}$ 和 $B_{1}=B_{2}$？它是否是满射？

习题 1.2. 使用函数的精确定义和一些逻辑，证明对于每个集合 $Y$，恰好存在一个从 $\emptyset$ 到 $Y$ 的函数 $f$。$f$ 何时是单射？满射？解释你的答案。

设 $X$ 是一个集合。证明从 $X$ 到 $\emptyset$ 的函数要么不存在，要么恰好存在一个，这取决于 $X \neq \emptyset$ 还是 $X=\emptyset$。

习题 1.3. 设 $X$ 和 $Y$ 是两个非空集合，设 $f: X \rightarrow Y$ 是一个函数。证明 $f$ 的图 $G_{f}$ 是 $X$ 的某个子集 $A$ 和 $Y$ 的某个子集 $B$ 的笛卡尔积 $A \times B$ 的形式 $\Longleftrightarrow f$ 是一个常数函数，即存在 $c \in Y$ 使得对于所有 $x \in X$，$f(x)=c$。

习题 1.4. 设 $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ 是由 $f(n)=n-1$ (如果 $n \geq 2$) 和 $f(1)=17$ 定义的函数 (此处 $\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$ 是自然数集)。

(i) $f$ 是单射吗？满射吗？为什么？

(ii) 找出 $\mathbb{N}$ 的以下子集：

(a) $f(\{1,2,3,5\})$；

(b) $f(\{1,18\})$；

(c) $f^{-1}(1)$；

(d) $f^{-1}(\{1,2,3\})$

(e) $f^{-1}(17)$；

(f) $f^{-1}(\{1,17\})$。

(iii) 证明 $h(n)=n+1$ 是 $f$ 的一个右逆函数。$f$ 的所有可能的右逆函数是什么？

(iv) 由于 $h$ 是 $f$ 的一个右逆函数，$f$ 是 $h$ 的一个左逆函数。$h$ 的所有可能的左逆函数是什么？

习题 1.5. 直接根据定义，证明两个单射函数的复合函数是单射的，并且两个满射函数的复合函数是满射的。

习题 1.6. 设 $X$ 和 $Y$ 是两个非空集合。定义投影函数 $\pi_{1}: X \times Y \rightarrow X$ 和 $\pi_{2}: X \times Y \rightarrow Y$ 如下：

函数 $\pi_{1}$ 被称为第一投影或 $X \times Y$ 到第一分量的投影，$\pi_{2}$ 类似。$\pi_{1}$ 何时是单射？满射？当 $X=\emptyset$ 或 $Y=\emptyset$ 时会发生什么？解释你的答案。

习题 1.7. 设 $f: X \rightarrow Y$ 是一个函数。证明，如果 $f$ 有一个左逆函数 $g$，则 $f$ 是单射的。反之，假设 $f$ 是单射的且 $X \neq \emptyset$。证明 $f$ 有一个左逆函数。然而，使用习题 1.2，证明，如果 $X=\emptyset$ 但 $Y \neq \emptyset$，则唯一的函数 $f: X \rightarrow Y$ 是单射的，但没有左逆函数。

证明，如果 $f$ 有一个右逆函数 $h$，则 $f$ 是满射的。（然而，反之，如果 $f$ 是满射的，则它有一个右逆函数，这涉及到更严肃的集合论。）

习题 1.8. 设 $Y=\{y\}$ 是一个恰好包含一个元素的集合，设 $X$ 是一个任意集合。证明存在一个从 $X$ 到 $Y$ 的唯一函数 $f$。$f$ 何时是单射？满射？双射？描述 $f$ 的所有可能的左逆函数，以及所有可能的右逆函数。

习题 1.9. 设 $X$ 是一个集合，设 $A \subseteq X$。

(i) 定义一个函数 $\chi_{A}: X \rightarrow\{0,1\}$，其规则为

函数 $\chi_{A}$ 被称为 $A$ 的特征函数。证明 $\chi_{A}^{-1}(0)=X-A$ 且 $\chi_{A}^{-1}(1)=A$。$\chi_{A}$ 何时是常数函数？对于哪些集合 $X$ 和子集 $A$，$\chi_{A}$ 是单射？满射？双射？

(ii) 假设 $f: X \rightarrow\{0,1\}$ 是一个函数。我们已经定义了 $X$ 的子集 $f^{-1}(1)$：$f^{-1}(1)=\{x \in X: f(x)=1\}$。证明 $f$ 是 $f^{-1}(1)$ 的特征函数，即 $\chi_{f^{-1}(1)}=f$。（注意：如正文所述，(i) 和 (ii) 表明存在从 $\mathcal{P}(X)$ 到 $\{0,1\}^{X}$ 的双射。）

习题 1.10. 设 $f: X \rightarrow Y$ 和 $g: Y \rightarrow Z$ 是两个函数。证明 $\operatorname{Im}(g \circ f)=g(\operatorname{Im} f)$。

习题 1.11. (i) 集合 $S_{2}$（从 $\{1,2\}$ 到 $\{1,2\}$ 的所有双射的集合）中有多少个元素？证明，对于所有 $f, g \in S_{2}$，$f \circ g=g \circ f$。然而，给出一个从 $\{1,2\}$ 到 $\{1,2\}$ 的两个函数（不假设为双射）$f, g$ 的例子，使得 $f \circ g \neq g \circ f$。

(ii) $S_{3}$ 中有多少个元素？找出两个函数 $f, g \in S_{3}$，使得 $f \circ g \neq g \circ f$。

习题 1.12. $\mathbb{R}^{n}$ 中的定向量是一个有向线段 $\overrightarrow{\mathbf{p q}}$，其中 $\mathbf{p}, \mathbf{q} \in \mathbb{R}^{n}$。因此，定向量与 $\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n}$ 的一个元素是相同的。我们说 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{1} \mathbf{q}_{1}} \sim \overrightarrow{\mathbf{p}_{2} \mathbf{q}_{2}}$，如果 $\mathbf{q}_{1}-\mathbf{p}_{1}=\mathbf{q}_{2}-\mathbf{p}_{2}$，其中上述运算是通常的向量减法**：如果 $\mathbf{p}=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$ 和 $\mathbf{q}=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right)$，则

使用向量加法的标准性质证明 $\sim$ 是 $\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n}$ 上的一个等价关系，并且每个等价类包含一个形式为 $\overrightarrow{\text { or }}$ 的唯一代表元。

习题 1.13. 在集合 $\mathbb{R}^{n}-\{\mathbf{0}\}$ 上定义一个关系 $\sim$：$\mathbf{v} \sim \mathbf{w}$ 如果存在 $t \in \mathbb{R}$，$t \neq 0$，使得 $\mathbf{v}=t \mathbf{w}$。证明 $\sim$ 是一个等价关系，并将 $\left(\mathbb{R}^{n}-\{\mathbf{0}\}\right) / \sim$ 识别为 $\mathbb{R}^{n}$ 的一维向量子空间集，即 $\mathbb{R}^{n}$ 中通过原点的直线集。

习题 1.14. 假设 $X$ 是一个集合，并且 $f: X \rightarrow Y$ 是从 $X$ 到某个集合 $Y$ 的一个固定函数。在 $X$ 上定义关系 $\sim$：$a \sim b \Longleftrightarrow f(a)=f(b)$。仔细证明 $\sim$ 是一个等价关系。

习题 1.15. 设 $X=\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\}$ 是一个包含三个元素的集合。在幂集 $\mathcal{P}(X)$（而不是在 $X$ 上！）上定义一个关系 $\sim$：给定 $A, B \in \mathcal{P}(X)$，$A \sim B$ 如果 $\#(A)=\#(B)$。证明 $\sim$ 是一个等价关系。列出 $\sim$ 的所有可能的等价类及其元素。

习题 1.16. 设 $X$ 是一个集合，带有一个等价关系 $\sim$，设 $F: X \rightarrow Y$ 是一个到某个其他集合 $Y$ 的函数。定义 $G \subseteq(X / \sim) \times Y$ 如下：

证明 $G$ 是一个函数 $f:(X / \sim) \rightarrow Y$ 的图 $\Longleftrightarrow$ 对于所有 $x_{1}, x_{2} \in X$，如果 $x_{1} \sim x_{2}$，则 $F\left(x_{1}\right)=F\left(x_{2}\right)$。

习题 1.17. 设 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 是两个非空集合，$\sim_{1}$ 和 $\sim_{2}$ 分别是 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 上的两个关系。在 $X_{1} \times X_{2}$ 上定义一个关系 $\sim$ 如下：

证明 $\sim$ 是一个等价关系 $\Longleftrightarrow$ $\sim_{1}$ 和 $\sim_{2}$ 都是等价关系。在这种情况下，用 $X_{1} / \sim_{1}$ 和 $X_{2} / \sim_{2}$ 来描述 $\left(X_{1} \times X_{2}\right) / \sim$。

习题 1.18. (i) 在 $\mathbb{Z} / 17 \mathbb{Z}$ 中，计算 (通过写成 $[a]$ 的形式，其中 $0 \leq a \leq 16$) $[3]+[14]$；$[3] \cdot[14]$；$[12]+[12]$；$[12] \cdot[12]=[12]^{2}$。找出一个整数 $k$ 使得在 $\mathbb{Z} / 17 \mathbb{Z}$ 中 $[3] \cdot[k]=[1]$。

(ii) 在 $\mathbb{Z} / 12 \mathbb{Z}$ 中，计算 $[3] \cdot[4]$ 和 $[2] \cdot[6]$ (通过写成 $[a]$ 的形式，其中 $0 \leq a \leq 11$)。你能找出一个整数 $k$ 使得在 $\mathbb{Z} / 12 \mathbb{Z}$ 中 $[3] \cdot[k]=[1]$ 吗？为什么？(注意：你可以尝试所有可能的 $k$ 值，但请尝试找到一个更具概念性的解释。)

习题 1.19. 对于 $n \in \mathbb{N}$，回顾一下，我们有时将整数模 $n$ 的同余类表示为 $[a]_{n}$，例如当我们想要讨论不同模的同余时。

(1) 对于 $a, k \in \mathbb{Z}$，证明 $[a+k]_{n}=[a]_{n} \Longleftrightarrow n \mid k$。

(2) 使用 (a)，证明，给定 $n, m \in \mathbb{N}$，恒等函数 $F: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 诱导出一个良定义函数 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \Longleftrightarrow m \mid n$。等价地，由 $f\left([a]_{n}\right)=[a]_{m}$ 定义的“函数” $f: \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$ 是良定义的 $\Longleftrightarrow m \mid n$。在这种情况下，证明对于所有 $[a]_{n},[b]_{n} \in \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$，$f\left([a]_{n}+[b]_{n}\right)=f\left([a]_{n}\right)+f\left([b]_{n}\right)$。

习题 1.20. 回顾一下，$\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 是等价关系 $\equiv(\bmod 2 \pi)$ 的等价类集：$\theta_{1} \equiv \theta_{2} \bmod 2 \pi$ 如果存在 $k \in \mathbb{Z}$ 使得 $\theta_{2}-\theta_{1}=2 k \pi$。证明，如果 $t \in \mathbb{R}$，则 $F(\theta)=t \theta$ 诱导出一个良定义函数 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z} \Longleftrightarrow t \in \mathbb{Z}$。

习题 1.21. 将以下各项写成 $a+b i$ 的形式：

(a) $(2+3 i)(1-i)$；

(b) $\frac{2+3 i}{1-i}$；

(c) $(1-4 i)(1+4 i)$。

习题 1.22. 设 $r$ 是一个正实数，设 $z$ 是一个绝对值为 1 的复数（即 $z \in U(1)$）。$|r z|$ 是什么？使用这一点，证明由

定义的函数是一个双射，其中 $\mathbb{R}^{>0}=\{t \in \mathbb{R}: t>0\}$ 是正实数集，通过明确地找到一个逆函数来证明。（提示：如果 $w \in \mathbb{C}^{*}$，则 $w=|w| \cdot \frac{w}{|w|}$。使用这个来定义逆函数。）

习题 1.23. (i) 找出表达式 $\sqrt{i}$ 的所有可能值，换句话说，描述（以 $a+b i$ 的形式）所有满足 $w^{2}=i$ 的复数 $w$。有多少个这样的 $w$？同样，找出 $1+i$ 的所有可能的平方根。

(ii) 以 $a+b i$ 的形式写出三次单位根集合 $\mu_{3}$ 中的元素。对以下各项也这样做：四次单位根集合 $\mu_{4}$ 中的元素；八次单位根集合 $\mu_{8}$ 中的元素。

习题 1.24. (i) 对于 $n \in \mathbb{N}$，考虑由 $f_{n}(z)=z^{n}$ 定义的函数 $f_{n}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$。$f_{n}$ 何时是单射？满射？

(ii) 考虑指数函数 $f(z)=e^{z}=e^{a}(\cos b+i \sin b)$，其中 $z=a+b i$。（此处我们将 $f$ 视为从 $\mathbb{C}$ 到 $\mathbb{C}$ 的一个函数。）对于写成极坐标形式的复数 $w=r(\cos \theta+i \sin \theta)$（因此 $r \geq 0$），写出方程 $f(z)=w$ 的所有可能解。$f$ 是单射吗？满射吗？$\operatorname{Im} f$ 是什么？

习题 1.25. (i) 计算 $\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ 以及 $\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right)$。它们相同吗？

(ii) 计算 $\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}-2 & 6 \\ 1 & -3\end{array}\right)$。这两个因子中任何一个有逆矩阵吗？

习题 1.26. 如果矩阵 $A \in \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R})$ 是对称的，则 ${ }^{t} A=A$。通过一个例子证明两个 $2 \times 2$ 对称矩阵的乘积不一定是对称的。

习题 1.27. 以下哪些矩阵 (i) 属于 $G L_{2}(\mathbb{R})$；(ii) 属于 $S L_{2}(\mathbb{R})$；(iii) 属于 $O_{2}(\mathbb{R})$；(iv) 属于 $S O_{2}(\mathbb{R})$：

注意：你可以假设包含关系 $S O_{2}(\mathbb{R}) \subseteq S L_{2}(\mathbb{R}) \subseteq G L_{2}(\mathbb{R})$ 和 $O_{2}(\mathbb{R}) \subseteq G L_{2}(\mathbb{R})$。

最后，验证 $A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right)$ 是一个正交矩阵。（注意：将矩阵的列写成 $\mathbf{u}_{1}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2), \mathbf{u}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0)$, 和 $\mathbf{u}_{3}= \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1)$ 可能会更有效率。）

习题 1.28. 设 $A_{\theta}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)$ 且设 $B_{\theta}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta\end{array}\right)$ 是 $2 \times 2$ 正交矩阵 (取决于一个实数 $\theta$)，其中 $\operatorname{det} A_{\theta}=1$ 且 $\operatorname{det} B_{\theta}=-1$。最后，设 $R=B_{0}= \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)$。证明 $A_{\theta_{1}} A_{\theta_{2}}=A_{\theta_{1}+\theta_{2}}$ 且 $A_{\theta}^{-1}=A_{-\theta}$。计算 $B_{\theta}^{2}$ 和 $B_{\theta}^{-1}$。证明 $B_{\theta}=A_{\theta} R$ 且 $R^{2}=I$，因此 $R=R^{-1}$。

使用上述恒等式，证明：$A_{\theta}=B_{\theta} R, R B_{\theta}=A_{-\theta}$（计算 $A_{-\theta}=A_{\theta}^{-1}=\left(B_{\theta} R\right)^{-1}$）。证明 $R^{-1} A_{\theta} R=R B_{\theta}=A_{-\theta}$。使用此恒等式再次计算 $B_{\theta}^{2}=A_{\theta} R B_{\theta}$。还证明 $B_{\theta_{1}} B_{\theta_{2}}=A_{\theta_{1}-\theta_{2}}, A_{\theta_{1}} B_{\theta_{2}}=B_{\theta_{1}+\theta_{2}}, B_{\theta_{1}} A_{\theta_{2}}=B_{\theta_{1}-\theta_{2}}, R A_{\theta}=B_{-\theta}, A_{\theta} R A_{\theta}^{-1}= A_{\theta} R A_{-\theta}=B_{2\theta}$。（注意：请高效地使用上述基本恒等式来证明其余部分。不要从头开始证明所有内容。）

习题 1.29. (i) 在习题 1.28 的符号中，证明

这里我们将 $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ 写成一个（行）向量，但实际意义是

（注意：一个快速证明方法是使用习题 1.28 中关于 $A_{\theta_{1}} A_{\theta_{2}}$ 和 $B_{\theta_{1}} A_{\theta_{2}}$ 的恒等式，因为 $\binom{\cos \alpha}{\sin \alpha}=A_{\alpha} \cdot \mathbf{e}_{1}$。）使用这一点来将 $A_{\theta}$ 解释为旋转矩阵。从上述内容，给出另一个论证 $B_{\theta}^{2}=I$。

(ii) 进一步证明，如果

则

换句话说，$B_{\theta}$ 是通过原点和 $\mathbf{u}_{1}$ 的直线的垂直反射。（这也从恒等式 $B_{\theta}=A_{\theta / 2} R A_{\theta / 2}^{-1}$ 得出。）特别地，$S O_{2}$ 的元素是旋转，而 $O_{2}-S O_{2}$ 的元素是反射。（注意：更一般地，对于 $n \geq 2$，如果 $B \in O_{n}-S O_{n}$，

则存在 $\mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基 $\mathbf{u}_{1}, \ldots, \mathbf{u}_{n}$，使得 $B$ 在基 $\mathbf{u}_{1}, \ldots, \mathbf{u}_{n}$ 中的矩阵形式为 $\left(\begin{array}{cccc} & & & 0 \\ & C & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & -1\end{array}\right)$，其中 $C \in S O_{n-1}$。）

(iii) 上述内容表明 $B_{\theta}$ 总是具有特征向量 $\mathbf{u}_{1}$ 和 $\mathbf{u}_{2}$，分别对应特征值 1 和 -1。$A_{\theta}$ 何时具有非零（实）特征向量？从几何上解释你的答案。

习题 1.30. 将向量 $(x, y)$ 解释为对应于复数 $z= x+i y$，证明在习题 1.28 的符号中，$A_{\theta}$ 对应于将 $z$ 乘以 $e^{i \theta}$，即对应于函数 $a_{\theta}(z)=e^{i \theta} z$，而 $R$ 对应于由 $r(z)=\bar{z}$ 定义的函数 $r: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$。使用这一点找出对应于 $B_{\theta}=A_{\theta} R$ 的函数，并给出恒等式 $R^{-1} A_{\theta} R=A_{-\theta}$ 的另一个证明。

2第 2 章

3二元结构与群

42.1. 二元运算与二元结构

1.1. 基本定义。代数的本质是将两个事物组合起来得到第三个。我们将其定义如下：

定义 1.1.1. 设 $X$ 是一个非空集合。$X$ 上的二元运算是一个函数 $F: X \times X \rightarrow X$。

然而，我们不将函数在对 $(a, b)$ 上的值写成 $F(a, b)$，而是使用一些中间符号来表示这个值，例如 $a+b$ 或 $a \cdot b$，通常简写为 $ab$，或 $a \circ b$。目前，我们经常使用 $a * b$ 来表示一个泛型二元运算。

定义 1.1.2. 一个二元结构 $(X, *)$ 是由一个集合 $X$ 和 $X$ 上的一个二元运算组成的对。

例 1.1.3. 例子多得数不胜数。例如，使用 $+$，我们有 $(\mathbb{N},+),(\mathbb{Z},+),(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R},+),(\mathbb{C},+)$，以及向量空间和矩阵的例子，例如 $\left(\mathbb{R}^{n},+\right)$ 或 $\left(\mathbb{M}_{n, m}(\mathbb{R}),+\right)$。使用减法，我们有 $(\mathbb{Z},-),(\mathbb{Q},-),(\mathbb{R},-),(\mathbb{C},-),\left(\mathbb{R}^{n},-\right)$， $\left(\mathbb{M}_{n, m}(\mathbb{R}),-\right)$。

对于乘法，我们有 $(\mathbb{N}, \cdot),(\mathbb{Z}, \cdot),(\mathbb{Q}, \cdot),(\mathbb{R}, \cdot),(\mathbb{C}, \cdot)$。如果我们定义 $\mathbb{Q}^{*}=\{a \in \mathbb{Q}: a \neq 0\}$， $\mathbb{R}^{*}=\{a \in \mathbb{R}: a \neq 0\}, \mathbb{C}^{*}=\{a \in \mathbb{C}: a \neq 0\}$，则 $\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right),\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right),\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$ 也是二元结构。同样，$(U(1), \cdot)$ 和 $\left(\mu_{n}, \cdot\right)$ 是二元结构。此外还有矩阵例子：$\left(\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(G L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(S L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(O_{n}, \cdot\right),\left(S O_{n}, \cdot\right)$。

接下来，有函数复合的例子：对于一个集合 $X$，$\left(X^{X}, \circ\right)$ 和 $\left(S_{X}, \circ\right)$。

我们还看到了在等价类的集合上的二元运算的例子。例如，$(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+),(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, \cdot)$, 和 $(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z},+)$ 都是二元结构的例子。这里，例如，给定 $[a],[b] \in \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$，我们定义 $[a]+[b]=[a+b]$ 和 $[a] \cdot[b]=[a b]$。正如我们所看到的，这些运算是良定义的。$\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 上的加法定义类似。（但是 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 上没有自然的乘法二元运算。）

最后，还有许多更任意的例子。例如，对于一个集合 $X$，我们可以简单地定义 $a * b=b$ 对于所有 $a, b \in X$：要“组合”两个元素，你总是选择第二个。另一个例子是一个“常数”二元运算：对于一个非空集合 $X$ 和一个固定元素 $c \in X$，定义 $a * b=c$ 对于所有 $a, b \in X$。

备注 1.1.4. 在小学时，讨论二元运算时，人们经常提到“封闭性”，它大致上是说，对于 $a, b \in X$，$a * b$ 是定义好的，并且 $a * b \in X$。对于我们来说，这个性质内置于二元运算的定义中，它被定义为从 $X \times X$ 到 $X$ 的一个函数。例如，减法不是 $\mathbb{N}$ 上的二元运算。同样，如果 $\mathbb{Q}^{*}$ 是非零有理数集，加法不是 $\mathbb{Q}^{*}$ 上的二元运算，因为 $\mathbb{Q}^{*}$ 在加法下不是封闭的，换句话说，加法函数没有在 $\mathbb{Q}^{*}$ 中的所有元素对上定义，至少如果我们想要求对于所有 $a, b \in \mathbb{Q}^{*}$，$a+b \in \mathbb{Q}^{*}$ 的话。

如果 $X$ 是一个包含 $n$ 个元素的有限集，比如说我们枚举 $X=\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$，那么 $X$ 上的二元运算可以用一个表来描述：

```

```